第61章 牛人徐武(3/5)

白发，都不敢说。

    “呵呵呵……不要紧张，主要是你大半个月没来上课了，我想看看你是不是偷懒了，临时测试一下！”白发魔笑道，转身在黑板上写下了一道题目。

    用归纳法证明对于所有正整数n，有 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + n3 = \\left(\\frac{n(n+1)}{2}\\right)2\\)。

    徐武看了一眼，写下了解题过程：

    当n=1时，等式左边是 \\(13 = 1\\)，等式右边是 \\(\\left(\\frac{1(1+1)}{2}\\right)2 = 12 = 1\\)，所以当n=1时，等式成立。

    当n=k（k是某个正整数）时，等式成立，即 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + k3 = \\left(\\frac{k(k+1)}{2}\\right)2\\)。

    当n=k+1时，有 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + k3 + (k+1)3 = \\left(\\frac{k(k+1)}{2}\\right)2 + (k+1)3\\)。

    将 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + k3\\) 替换为 \\(\\left(\\frac{k(k+1)}{2}\\right)2\\)，得到 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + k3 + (k+1)3 = \\left(\\frac{k(k+1)}{2}\\right)2 + (k+1)3\\)。

    展开并简化表达式，得到 \\(13 + 23 + 33 + \\ldots + k3 + (k+1)3 = \\frac{k2(k+1)2}{4} + \\frac{4(k+1)3}{4} = \\frac{k2(k+1)2 + 4(k+1)3}{4} = \\frac{(k+1)2(k2 + 4(k+1))}{4} = \\frac{(k+1)2((k+2)2 - 4)}{4} = \\frac{(k+1)2
本章还未完，请点击下一页继续阅读>>>